Welche Fragen werden in diesem und dem Artikel über das Wartezeitparadoxon beantwortet?

  • Was ist ein Wahrscheinlichkeitsraum und wie berechnen Sie damit Wahrscheinlichkeiten?

  • Was sind bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungen?

  • Wie können Sie mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und bedingten Erwartungswerten Vorwissen bei Ihren Berechnungen berücksichtigen?

  • Wie lautet die Formel für den totalen Erwartungswert?

  • Was ist das Wartezeitparadoxon?

  • Warum kommt der Bus so spät?

 

Sind Sie auch genervt von der langen Wartezeit auf den Bus? Haben Sie das Gefühl, länger an der Bushaltestelle warten zu müssen als erwartet? Mit Ihrer Einschätzung liegen Sie gar nicht mal so daneben, denn dieses Phänomen ist unter dem Namen Wartezeitparadoxon bekannt. In diesem Artikel werden wir vorbereitend für den Artikel über das Wartezeitparadoxon auf dafür benötigte grundlegende statistische Sätze und Annahmen eingehen. Wir möchten Ihnen die statistische Theorie anhand eines anschaulichen Beispiels aus der Warteschlangentheorie näher bringen. Denn Wahrscheinlichkeitstheorie kann nicht nur interessant sein, sondern ist auch eine essentielle Grundlage der Statistik, welche im Rahmen unserer Statistik Nachhilfe oft angefragt wird.

Statistik Nachhilfe in Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben viele Schüler und Studenten Probleme, denn die Gesetze des Zufalls widersprechen oftmals unserer Intuition. Der Mensch ist einfach nicht dafür gemacht, Wahrscheinlichkeiten richtig einzuschätzen. Daher ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung eines der am häufigsten nachgefragten Themen im Rahmen unserer Statistik Nachhilfe. Zunächst möchten wir Ihnen die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie vermitteln.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein zentraler Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik. Möchten Sie die Wahrscheinlichkeit von Zufallsexperimenten berechnen, sollten Sie zunächst ein geeignetes mathematisches Modell erstellen, in diesem Fall einen \textbf{Wahrscheinlichkeitsraum}. Für unsere Beispiele genügen uns diskrete Wahrscheinlichkeitsräume. Diese bestehen aus dem Tripel (\Omega,\Sigma,P).

  • Die \textbf{Ergebnismenge} \Omega enthält die Ergebnisse.

  • Die \sigma-Algebra \Sigma ist ein Mengensystem. Jedes Element dieses Mengensystems ist selbst wieder eine Menge und zwar eine Teilmenge von \Omega. Die Teilmengen werden auch \textbf{Ereignisse} genannt und müssen spezielle mathematische Eigenschaften erfüllen, welche uns hier aber nicht weiter zu interessieren brauchen.

  • P ist ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmass}, welches jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 zuordnet.

Machen wir uns die Begriffe mal anhand eines einfachen Beispiels klar. Beim Brettspiel Monopoly würfeln die Spieler mit zwei Würfeln gleichzeitig. Die Augenzahlen der beiden Würfel sind unabhängig voneinander. Jedes der 6 Ergebnisse des ersten Würfels kann mit jedem der 6 Ergebnisse des zweiten Würfels kombiniert werden, es ergeben sich also insgesamt die 6\cdot 6=36 Ergebnisse

    \[\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),...,(6,4),(6,5),(6,6)}\}\]

Diese Ergebnisse bilden die Ergebnismenge \Omega.

Die Gestalt von \sigma-Algebren kann sehr kompliziert werden, aber da wir es mit einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum zu tun haben, ist \Sigma einfach die Potenzmenge von \Omega. Die Potenzmenge enthält alle Teilmengen der Ergebnismenge. Das sind unglaublich viele, nämlich 2^{36}=68719476736. Ein konkretes Element dieser Potenzmenge ist beispielsweise {(1,3),(2,2),(3,1)}. Es handelt sich um das Ereignis „Die Augensumme beträgt 4“.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß ordnet jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu. Welche Wahrscheinlichkeit das Ereignis „Die Augensumme beträgt 4“ hat, erfahren Sie im nächsten Abschnitt.

Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten

Jedes der 36 Ergebnisse aus der Ergebnismenge besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit, weil beide Würfel unabhängig voneinander eine Zahl würfeln und die Würfel nicht manipuliert sind. Das Zufallsexperiment bezeichnet man dann auch als Laplace-Experiment. In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen einfach zu bestimmen. Es werden die Ergebnisse im Ereignis gezählt und durch die Gesamtanzahl aller Ergebnisse geteilt. Die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme von 4 beträgt daher 3/36=1/12. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Augensummen berechnen, erhalten Sie die folgende \textbf{Wahrscheinlichkeitsverteilung}:

Augensumme

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Wahrscheinlichkeit

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme zweier unabhängiger Würfel

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme zweier unabhängiger Würfel
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme zweier unabhängiger Würfel

Es ergibt sich eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die wahrscheinlichste Augensumme ist 7, welche man durchschnittlich bei jedem sechsten Wurf erhält. 2 und 12 würfelt man dagegen nur einmal alle 36 Würfe.

Wie viele Felder kann man beim Monopoly seine Spielfigur durchschnittlich vorwärts setzen? Definieren wir hierzu die Zufallszahlen X für den ersten und Y für den zweiten Würfel. Die Augensumme ist S:=X+Y. Die durchschnittliche Augensumme kann mit dem \textbf{Erwartungswert} 

    \[E(S)=\sum_{k=2}^{12} k P(S=k)\]

berechnet werden. Sie multiplizieren also alle Augensummen mit ihren Wahrscheinlichkeiten und summieren das Ganze. Für unser Beispiel erhalten Sie den Erwartungswert 2\cdot 1/36+3\cdot 2/36+...+12\cdot 1/36=7. Eine Spielfigur kommt demnach pro Zug durchschnittlich 7 Felder vorwärts.

Wir haben bereits die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme von 4 berechnet. Diese beträgt 1/12. Doch wie wahrscheinlich ist diese Augensumme, wenn wir beide Würfel nacheinander würfeln und wir mit dem ersten Würfel bereits eine 1 gewürfelt haben? Hierfür berechnen wir die \textbf{bedingte Wahrscheinlichkeit}

P(X+Y=4|X=1)=P(X+Y=4,X=1)/P(X=1)

=P(X=1,Y=3)/P(X=1)=(1/36)/(1/6)=6/36=1/6.

Der senkrechte Strich in der Formel bedeutet „gegeben“ bzw. „unter der Bedingung von“. Es wird also die Wahrscheinlichkeit von X+Y=4 unter der einschränkenden Bedingung X=1 berechnet. Gemäß der Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten müssen für den Zähler beide Ereignisse X+Y=4 und X=1 gleichzeitig zutreffen, was äquivalent ist zu X=1 und Y=3. Im Allgemeinen ändern sich Wahrscheinlichkeiten, wenn Vorwissen in der Form von Bedingungen vorhanden ist, so auch in unserem Fall. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist mit 1/6 doppelt so hoch wie die unbedingte Wahrscheinlichkeit mit 1/12.

Der \textbf{bedingte Erwartungswert} ist eine Art Kombination aus bedingter Wahrscheinlichkeit und dem Erwartungswert. Der bedingte Erwartungswert berechnet sich genauso wie der normale Erwartungswert mit dem Unterschied, dass die unbedingten Wahrscheinlichkeiten durch bedingte Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden. Sie haben bereits den Erwartungswert für die Augensumme berechnet. Dieser beträgt 7. Wenn Sie aber beide Würfel getrennt werfen und mit dem ersten eine 1 gewürfelt haben, ändert sich der Erwartungswert unter dieser Bedingung. Es sind nicht mehr alle Augensummen von 2 bis 12 möglich, sondern nur noch von 2 bis 7. Jede dieser Augensummen ist gleich wahrscheinlich, weil der zweite Würfel jede Augenzahl von 1 bis 6 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wirft und die 1 des ersten Würfels noch hinzukommt. Der bedingte Erwartungswert berechnet sich also mit der Formel 2\cdot 1/6+3\cdot 1/6+4\cdot 1/6+5\cdot 1/6+6\cdot 1/6+7\cdot 1/6 = 4,5.

Der Satz vom totalen Erwartungswert

In vielen Situationen ist die direkte Berechnung des Erwartungswerts zu schwierig. Indem Sie den Ergebnisraum in paarweise \textbf{disjunkte} \textbf{Ereignisse} aufteilen, können Sie das Problem auf die Berechnung bedingter Erwartungswerte und einfacher Wahrscheinlichkeiten reduzieren. Eine Menge von Ereignissen wird paarweise disjunkt genannt, wenn sich alle Paare dieser Ereignisse gegenseitig ausschließen, also unvereinbar sind.

Wenn Ihnen die Berechnung des Erwartungswerts der Augenzahl eines Würfels zu kompliziert ist, können Sie beispielsweise die Augenzahl aufteilen in die beiden Fälle „gerade“ und „ungerade“. Beide Fälle schließen sich gegenseitig aus und die Vereinigung ergibt den gesamten Ergebnisraum. Sie berechnen nun jeweils den bedingten Erwartungswert gegeben die beiden Fälle. Ist die Augenzahl gerade (2, 4 oder 6), beträgt der Erwartungswert 4. Ist sie dagegen ungerade (1, 3 oder 5), beträgt er 3. Die bedingten Erwartungswerte gewichten Sie anschließend mit den Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse. Gerade beziehungsweise ungerade Augenzahlen werden jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 gewürfelt. Die durchschnittliche Augenzahl beträgt somit 1/2\cdot 4+1/2\cdot 3=3,5.

Nun wollen wir noch den Satz vom totalen Erwartungswert mathematisch präzisieren. Bilden A_{n} für k=1,…,n eine vollständige Partition des Ergebnisraums \Omega, so berechnet sich der Erwartungswert mit der Formel

    \[E(X)=\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})E(X|A_{k}).\]

Mit dieser kurzen Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Sie nun gewappnet für das Wartezeitparadoxon.

 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum

http://stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/jahrgang20-2000/heft1/2000-1_Humen.pdf

Wahrscheinlichkeitsrechnung

CC BY 4.0 Wahrscheinlichkeitsrechnung von moritz ist lizenziert unter Creative Commons Namensnennung 4.0 international.

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